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Magia06

Noviembre 2, 2007 
f_*([\gamma]) = H \circ (\gamma \times Id)_* ([\alpha]) = H \circ (\gamma \times Id)_* ([\lambda* \beta * \lambda^{-1}])   = 
\sigma * g_*([\gamma]) * \sigma = \hat \sigma \circ g_*([\gamma])

Ahora entendamos un poco qué corno es todo eso.

En principio la idea es la siguiente. Tenemos dos funciones (continuas, hasta que se afirme lo contrario) , X \stackrel{f,g}{\longrightarrow} Y homotópicas. Entonces, como de costumbre, H es la homotopía entre ambas.

La idea es que uno busca demostrar en pocas líneas que si bien el funtor \pi_1 distingue entre ambas funciones (una manera fácil de ver esto es que f_*: \pi_1(X, x_0) \longrightarrow \pi_1(Y,f(x_0)) , mientras que g_*: \pi_1(X, x_0) \longrightarrow \pi_1(Y,g(x_0)) , y las imágenes de x_0 no tienen por qué coincidir…), la relación de homotopía entre funciones se traduce en una relación de conjugación en el grupoide fundamental… algo así como una “homotopía de grupos” dentro del grupoide(?). Por supuesto, hay que buscar una curva para hacer de conjugador, y esta curva debe unir los puntos f(x_0) y g(x_0). Obviamente, hay un candidato natural… ¡la curva definida por la homotopía, \sigma(t) = H(x_0,t)!

Como motivación, pensemos a g como el camino que recorre nuestra homotopía en la “tapa superior” del cilindro X \times I, y respectivamente a f como el camino que recorre en la “tapa inferior”. Para traducirlo al caso básico, tomamos el espacio S^1 \times I, y hacemos el mismo recorrido que antes: definimos dos lazos, \alpha, \beta: S^1 \longrightarrow S^1 \times I, como \alpha(t) = (t,0), \ \beta(t) = (t,1).

Como antes en el caso de los espacios de llegada, no podemos transferir automáticamente la homotopía porque los puntos base son distintos ((1,0) y (1,1), si tomamos el 1 como punto base de S^1). Sin embargo, hay una manera muy natural de establecer una homotopía: la conjugación por un camino que una los puntos base de cada lazo (o en nuestro caso más general, función), o sea el camino que recorre la pared vertical del cilindro, \lambda(t) = (1,t). Una cuenta muy simple (o un poco de imaginación visual y una profunda convicción de que la formalidad puede quedar para otro día), muestra que \ [\alpha] = [\lambda * \beta * \lambda^{-1}], donde los corchetes denotan clases de homotopía, y \lambda^{-1} es la curva recorrida en sentido inverso.

¡Eso es todo lo que se necesita! Ya establecimos la homotopía a nivel básico, y ahora simplemente la levantamos con H. Si tomamos un cierto lazo \gamma en X, tenemos que f_*([\gamma]) = H_* [(\gamma , 0)] = H_*([(\gamma \times Id) \circ \alpha]) = H \circ (\gamma \times Id)_*([\alpha]).

Análogamente, g_*([\gamma]) = H_*[(\gamma,1)] = H \circ (\gamma \times Id)_*([\beta]). Como la función H \circ (\gamma \times Id)_* está definida para las clases de homotopía, y \ [\alpha] = [\lambda * \beta * \lambda^{-1} ], tenemos que H \circ (\gamma \times Id)_*[\alpha] = H \circ (\gamma \times Id)_*[\lambda * \beta * \lambda^{-1} ] .

Poniendo \sigma = H \circ (\gamma \times Id) (\lambda) (= H(x_0,-) jajaja), tenemos la formula que aparece al principio del post.

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